Port-Hamiltonian概述與工程價值
Port-Hamiltonian系統（PHS）以能量流為導向，將物理系統的動力學結構內建於狀態空間模型。與傳統狀態空間（State-Space）表述相比，PHS強調結構矩陣的反對稱性及耗散矩陣的半正定性，符合物理守恆與耗散律（Van der Schaft & Jeltsema, 2014）。對後端系統工程師而言，PHS能協助在模型化階段直接捕捉能量交換機制，提升仿真精度及可觀測性；對控制器開發者，則可藉由結構化控制理論（Structured Control）推導出穩定性保證而無需額外極點配置。
實務上，PHS已成功應用於機械手臂（Robot Arm）、電力電子轉換器、熱交換器等領域，並且可結合微服務架構部署於雲端平台，實現分散式能量管理（Energy Management）。當開發者對接IoT感測器或Web3裝置時，PHS提供了明確的接口規範與動態安全條件，幫助優化資源調度與減少延遲。此外，結合生成式AI的參數辨識技術，能進一步自動化校準物理參數，降低手動調試成本。
非最小化系統挑戰與特性
傳統PHS方法多限制於可控、可觀且最小化（minimal）的線性時不變系統（LTI）。然而，實際工業系統往往含有冗餘狀態或不可逆饋送項（feedthrough term），造成Symmetric Feedthrough不可逆，導致結構化矩陣分解失敗。根據 arXiv:2201.05355v3（2023），作者提出擴展方法，允許輸出矩陣D的對稱部分S = ½(D + Dᵀ)不可逆，並同時處理非最小化模型之解耦問題。
此類非最小化系統的主要挑戰在於：一是如何在存在隱藏模態（hidden modes）時依然維持能量守恆結構；二是當S存在奇異值時，如何透過微擾（perturbation）策略生成鄰近的可行PHS。作者在第3節證明，透過拉格朗日乘子與線性矩陣不等式（LMI）緩解S矩陣奇異性，可確保可解性或指出不可行情形。
演算法解構與實作流程
為將理論落地至工程專案，以下闡述主要步驟：
1. 系統預處理與狀態分解
首先取得系統矩陣 (A,B,C,D)，並計算S = ½(D + Dᵀ)。若S可逆，依Van der Schaft常見標準法執行Cholesky分解；否則，識別S的零特徵子空間，將系統狀態分為可逆子空間與奇異子空間，並對應地重組 (A,B,C)。
2. LMI設定與求解
根據 arXiv:2201.05355v3 Sec. 4，對可逆部份構造LMI：
find P=Pᵀ>0, W s.t. AᵀP+PA+2S_W ≤0, PB=CᵀW, etc.
此處S_W代表耗散矩陣，W為耦合矩陣。可使用CVX（GPL v2）或YALMIP搭配MOSEK（商用）求解。官方案例顯示，在n≤100的系統下，平均求解時間低於0.5秒（參考Benchmark Suite 2022）。
3. 微擾策略與可行性檢測
當LMI無解時，根據原論文方法對D施加最小Frobenius perturbation Δ，使S+Δ可逆，並調整C與B以維持耦合條件。此步驟可透過SVD分解快速定位最小改動方向，迭代至LMI收斂。整體演算法對缺失逆性部分具有自動檢測與回報機制。
### 4. 結構化模型重建與驗證
求得P、W後，即可構造J=−Jᵀ（反對稱能量流矩陣）、R=Rᵀ≥0（耗散矩陣）及能量函數流形H(x)=½xᵀPx。最後透過時域或頻域測試，驗證閉迴路穩定性與能量一致性。建議採用MATLAB Simulink或Python Control Systems Library進行快速驗證。
數值測試與案例驗證
研究團隊以三相不平衡電力系統做為實驗範例，模型階數n=60，響應頻帶涵蓋0–5 kHz。根據論文實驗結果，未經微擾時LMI可行率僅70%；引入最小Δ後，可行率提升至99.5%，且頻域響應誤差（H∞ norm）僅增加0.2%。這些數據證明擴展方法在處理大型非最小模型時，仍能兼顧穩定性與物理可解性。
潛在影響與風險評估
對不同工程師職能而言，PHS擴展具備以下影響：
正面：可將傳統冗餘或不具可逆饋送系統納入結構化框架；提升模型重用與分散式部署能力；降低實驗室調參成本。
負面：需依賴商用或開源LMI求解器，可能受限於許可與性能；微擾策略雖保證可行性，可能引入原系統動態偏離；若非物理底層開發者理解PHS基礎，可能誤用模型結構。
整體而言，本擴展方法為後端系統工程與控制演算法設計，提供了新一代結構化建模工具，值得在雲端SaaS、智能電網、自動化產線等領域深度探索與實戰應用。
