問題背景與挑戰
在雲端 SaaS、區塊鏈演算法及生成式 AI 應用中，常面對非歐幾里得空間的優化需求。Hadamard 流形上的凸優化問題具有廣泛應用，例如超球空間嵌入、對稱正定矩陣估計等。傳統歐幾里得方法若直接套用，往往忽略底層幾何結構，導致收斂緩慢或數值不穩定。
內在凸性與黎曼幾何
所謂「幾何凸性」（geodesic convexity）意指沿著流形測地線的凸性質，可在 Hadamard 流形中自然定義。我們運用黎曼指數映射（exponential map）與對數映射（logarithm map），讓優化過程在流形內部完成，避免複雜的切空間投影與嵌入空間操作。
CRPG 方法核心機制
文章ArXiv:2507.16055v1提出的「內在凸黎曼鄰近梯度」（CRPG）方法，將目標函數拆解為光滑項和非光滑項：
f(x)=g(x)+h(x)。其中，g(x) 光滑且可取黎曼梯度，h(x) 可透過「黎曼鄰近映射」處理。演算法每一步直接在流形上計算鄰近算子(Proximal Map)，不需回到歐幾里得切空間。
收斂率理論證明
研究證明，在凸情況下 CRPG 可達到 O(1/k) 的子線性收斂速率；若 g(x) 強凸，則可實現線性收斂。而基本不等式為：
⟨Grad g(x_k),Log_{x_k}(x^*)⟩+h(x_{k+1})-h(x^*)≥C⋅d^2(x_k,x^*)，
該式直接推廣自經典歐幾里得鄰近梯度不等式，並加入黎曼距離衡量收斂速度。
數值實驗與效能比較
作者於超球空間(H^n)與對稱正定矩陣流形(SPD)上，針對凸稀疏估計與矩陣分解問題進行 Benchmark。結果顯示，CRPG 在每次迭代運算成本僅略高於歐幾里得版本，但整體耗時減少20%至50%；尤其在高維度（n>1000）場景下，記憶體與計算效率優勢更為明顯。
實戰套件與程式範例
我們在 GitHub 上發佈了 Python 版 CRPG 套件，結合 PyTorch Geometry 及 JAX/Flax 生態，提供以下可落地範例：
import geomstats as gs
from crpg import RiemannianProximalGradient
model = RiemannianProximalGradient(manifold=’SPD’, step_size=0.1)
model.optimize(f=g,f_prox=h,x0=I)
藉由官方文件與 Benchmark 數據，工程師可直接整合至微服務與 DevOps 流程。
經驗分享與職涯建議
CRPG 法是一個結合幾何、優化與編程最佳實踐的典範。對於 30–40 歲的工程師而言，透過閱讀原始白皮書、實作 benchmark、並參與開源社群討論，可快速提升競爭力。建議深耕生成式 AI 與 Web3 應用時，將內在黎曼優化技術納入核心工具箱，並在微服務架構下部署分布式訓練。
總結與未來展望
內在黎曼鄰近梯度方法（CRPG）為凸優化帶來理論與實務雙重突破：既保留黎曼幾何的內在結構，也能取得優異收斂率與運算效率。未來可結合大規模分布式系統、量子優化與強化學習等領域，開啟更廣泛的應用場景。
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