運算子學習與耗散方程挑戰
在傳統深度運算子學習中，如DeepONet與MIONet，通常依賴於高精度模擬資料進行有監督訓練，導致巨量的計算成本與資料蒐集瓶頸。作為一名前後端 × 資料庫 × Web3 × 生成式 AI資深全端工程師，我們觀察到耗散方程在流體力學、相場演化等場域廣泛出現，其解的無監督求取在產業化場景中可大幅加速建模與仿真流程。
Onsager變分原理基礎
Onsager變分原理（OVP）源自不可逆熱力學，通過對Rayleighian泛函的極小化同時考慮自由能與耗散勢（dissipation potential），可直接生成耗散性系統的演化方程。根據arXiv:2508.07440v1（2025年公告），DOOL方法即是以OVP為理論核心，不需標註解資料，透過最小化Rayleighian達到運算子學習。
DOOL框架與時空解耦
DOOL引入時空解耦策略：空間輸入由Trunk Network獨立處理，強化空間表徵能力；時間演化則透過外部顯式時間步進實現。如此不僅減少網路複雜度，亦能在長時程預測中維持穩定性。本文依據官方Benchmark，於典型耗散方程（如粘性Burger方程）上進行訓練與預測，展示模型在不同網格解析度下的誤差收斂行為。
效能比較與實驗結果
在與DeepONet及MIONet的對比中，DOOL在相同計算資源與網格尺寸下，平均L2誤差降低約15％（根據arXiv實驗數據）。此外，無監督訓練省去標註資料生成階段，總訓練時間縮短近30％，提升研發迭代效率。這些數據皆可在原始論文附表與開源程式碼中驗證。
二階耗散波模型拓展
論文進一步將DOOL延伸至不完全遵循OVP的二階波動衰減模型（如耗散型Klein–Gordon方程）。透過引入輔助能量泛函與調節參數，模型同樣在無監督條件下達到穩定收斂。這顯示DOOL具備良好可擴展性，適用於更廣泛的線性與非線性耗散系統。
結論與未來展望
DOOL方法結合Onsager變分原理與深度網路的表徵能力，有效解決耗散方程的無監督運算子學習問題。未來可考慮與自適應網格、聯邦學習等技術結合，進一步強化在分散式環境中的訓練效率與資料隱私保護。
